在数学中，我们经常遇到各种类型的方程，其中二次函数是一种非常重要的形式。所谓二次函数，是指形如 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的方程，其中 \( a, b, c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。对于这类方程，我们通常需要找到它的解，也就是所谓的“根”。而求根公式就是解决这一问题的关键工具。
接下来，我们将一步步推导出这个著名的求根公式。
第一步：标准化方程
首先，我们从一般形式开始：
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
为了简化计算，我们可以将整个方程两边同时除以 \( a \)，这样可以保证 \( x^2 \) 前的系数为 1。于是，方程变为：
\[
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
\]
令 \( p = \frac{b}{a} \)，\( q = \frac{c}{a} \)，则方程进一步化简为：
\[
x^2 + px + q = 0
\]
第二步：配方技巧
为了方便求解，我们需要对 \( x^2 + px + q = 0 \) 进行配方。所谓配方，就是在方程中构造一个完全平方的形式。
观察 \( x^2 + px \)，我们可以通过添加和减去一个特定的数来完成配方。具体来说，需要加上 \( \left(\frac{p}{2}\right)^2 \)，即：
\[
x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q = 0
\]
这样，左边的前几项就构成了一个完全平方：
\[
\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q = 0
\]
第三步：移项并整理
将常数项移到等号右侧：
\[
\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q
\]
设右边的值为 \( D \)，即：
\[
D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q
\]
因此，方程变为：
\[
\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = D
\]
第四步：开平方求解
对方程两边开平方，得到：
\[
x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{D}
\]
这里需要注意的是，开平方会产生正负两种情况。接下来，我们将 \( \frac{p}{2} \) 移到另一边：
\[
x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{D}
\]
第五步：还原变量
回顾我们最初的定义，\( p = \frac{b}{a} \)，\( q = \frac{c}{a} \)，因此：
\[
-\frac{p}{2} = -\frac{\frac{b}{a}}{2} = -\frac{b}{2a}
\]
同时：
\[
D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}
\]
将其代入，最终的求根公式为：
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
总结
通过上述步骤，我们成功推导出了二次函数的求根公式：
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
这个公式可以帮助我们快速求解任意二次方程的根。需要注意的是，公式中的判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 决定了方程是否有实数解：当 \( \Delta > 0 \) 时有两个不同实根；当 \( \Delta = 0 \) 时有两个相同实根；当 \( \Delta < 0 \) 时无实根。
希望本文能帮助你更好地理解二次函数求根公式的来源及其背后的逻辑！
