在初三的数学学习中,二次函数是一个重要的知识点。二次函数的标准形式通常被称为“一般式”,其表达式为:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
其中,\(a\)、\(b\)、\(c\) 是常数,且 \(a \neq 0\)。而另一种常见的形式是“顶点式”,即:
\[ y = a(x-h)^2 + k \]
顶点式的优势在于可以直接看出抛物线的顶点坐标 \((h, k)\),这对于分析和解决问题非常方便。那么,如何将一般式转化为顶点式呢?以下是详细的步骤。
第一步:提取系数 \(a\)
从一般式中提取出二次项系数 \(a\)。例如,对于 \(y = 2x^2 - 8x + 6\),我们可以直接看到 \(a = 2\)。
第二步:配方
接下来需要对 \(x\) 的部分进行配方。以 \(y = 2x^2 - 8x + 6\) 为例:
1. 先忽略常数项 \(6\),只看 \(2x^2 - 8x\)。
2. 提取 \(x^2\) 前的系数 \(2\),得到 \(2(x^2 - 4x)\)。
3. 对括号内的部分进行配方:\(x^2 - 4x\) 中,\(-4\) 的一半是 \(-2\),平方后得到 \(4\)。因此可以写成:
\[ x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4 \]
4. 将结果代入原式,得到:
\[ y = 2[(x-2)^2 - 4] + 6 \]
第三步:整理公式
继续展开并整理公式:
\[ y = 2(x-2)^2 - 8 + 6 \]
\[ y = 2(x-2)^2 - 2 \]
这样就得到了顶点式:
\[ y = 2(x-2)^2 - 2 \]
总结
通过上述方法,我们成功地将一般式 \(y = 2x^2 - 8x + 6\) 转化为了顶点式 \(y = 2(x-2)^2 - 2\)。从顶点式中可以看出,抛物线的顶点坐标为 \((2, -2)\),开口方向由 \(a = 2\) 决定(向上开口)。
希望这个过程能够帮助大家更好地理解二次函数的一般式与顶点式的转换方法!如果还有其他问题,欢迎随时交流探讨。