【高二数学点到直线的距离公式】在高中数学中，点到直线的距离是一个重要的知识点，常用于解析几何和实际问题的解决。掌握这一公式不仅有助于理解几何关系，还能提高解题效率。以下是对“点到直线的距离公式”的总结与分析。
一、点到直线的距离公式
设点 $ P(x_0, y_0) $，直线的一般式为：
$$ Ax + By + C = 0 $$
则点 $ P $ 到这条直线的距离 $ d $ 的计算公式为：
$$
d = \frac{
$$
这个公式是通过向量投影和几何关系推导而来的，适用于所有形式的直线。
二、公式的应用与注意事项
1. 直线方程的形式：必须是标准的一般式 $ Ax + By + C = 0 $，若给出的是斜截式或点斜式，需先转化为一般式。
2. 符号处理：公式中使用绝对值，因此距离始终为非负数。
3. 特殊情况：
- 若点在直线上，则距离为 0。
- 若直线垂直于坐标轴（如 x 轴或 y 轴），可直接利用坐标差求距离。
三、典型例题解析
| 题目 | 已知条件 | 解答步骤 | ||
| 1 | 点 $ A(2, 3) $，直线 $ 2x + y - 5 = 0 $ | 代入公式：$ d = \frac{ | 2×2 + 1×3 - 5 | }{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} $ |
| 2 | 点 $ B(-1, 4) $，直线 $ y = 3x + 2 $ | 先转为一般式：$ 3x - y + 2 = 0 $，再代入公式：$ d = \frac{ | 3×(-1) - 1×4 + 2 | }{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{10}} $ |
| 3 | 点 $ C(0, 0) $，直线 $ x = 5 $ | 直线为垂直于 x 轴的直线，距离为横坐标差：$ | 5 - 0 | = 5 $ |
四、总结
| 内容 | 说明 | ||
| 公式 | $ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{\sqrt{A^2 + B^2}} $ |
| 应用场景 | 求点到直线的最短距离、判断点与直线的位置关系等 | ||
| 注意事项 | 直线方程需化为一般式；注意绝对值与分母的平方根 | ||
| 实际意义 | 在工程、物理、计算机图形学等领域有广泛应用 |
通过掌握点到直线的距离公式，可以更高效地解决几何问题，并为后续学习解析几何打下坚实基础。建议多做练习题，熟练运用该公式。
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