【高中数学三角函数公式】在高中数学中，三角函数是重要的基础知识之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于提高解题效率和理解问题的本质。以下是对高中阶段常用三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本概念
三角函数是基于直角三角形的边角关系定义的，也可以通过单位圆来推广到任意角度。常见的三角函数有正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），以及它们的倒数：余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。
二、基本公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦函数 | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ | 在直角三角形中定义 |
| 余弦函数 | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ | 在直角三角形中定义 |
| 正切函数 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} $ | 定义为正弦与余弦的比值 |
| 余切函数 | $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ | 正切的倒数 |
| 正割函数 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ | 余弦的倒数 |
| 余割函数 | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 正弦的倒数 |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式表达式 | 说明 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ | 奇函数性质 |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ | 偶函数性质 |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ | 第二象限的对称性 |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 第二象限的对称性 |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ | 第三象限的对称性 |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 第三象限的对称性 |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ | 第四象限的对称性 |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ | 第四象限的对称性 |
四、同角三角函数关系
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 最基本的恒等式 |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ | 正切与正弦、余弦的关系 |
| 倒数关系 | $ \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 $ | 正切与余切互为倒数 |
五、两角和与差公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦和公式 | $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $ | 用于计算两个角的正弦和 |
| 正弦差公式 | $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $ | 用于计算两个角的正弦差 |
| 余弦和公式 | $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $ | 用于计算两个角的余弦和 |
| 余弦差公式 | $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $ | 用于计算两个角的余弦差 |
| 正切和公式 | $ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} $ | 用于计算两个角的正切和 |
| 正切差公式 | $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} $ | 用于计算两个角的正切差 |
六、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ | 用于计算两倍角的正弦 |
| 余弦倍角公式 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ | 多种形式表达 |
| 正切倍角公式 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 用于计算两倍角的正切 |
七、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 根据象限选择符号 |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 根据象限选择符号 |
| 正切半角公式 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ | 也可用其他形式表示 |
八、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦乘积公式 | $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $ | 将乘积转化为和差 |
| 余弦乘积公式 | $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] $ | 同上 |
| 正弦余弦乘积公式 | $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $ | 同上 |
九、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦和差公式 | $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | 将和转化为积 |
| 正弦差公式 | $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | 同上 |
| 余弦和差公式 | $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | 同上 |
| 余弦差公式 | $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ | 同上 |
总结
以上内容涵盖了高中数学中常见的三角函数公式，包括基本定义、诱导公式、同角关系、和差倍角公式、积化和差及和差化积公式等。这些公式是解决三角函数相关问题的基础工具，建议结合练习题加深理解和记忆。通过不断应用这些公式，可以更灵活地应对各种类型的数学题目。
