【z变换求单位脉冲响应的公式】在数字信号处理中，单位脉冲响应是系统对单位脉冲输入的响应，它是分析线性时不变（LTI）系统的重要工具。通过z变换，可以方便地求解系统的单位脉冲响应。以下是关于如何利用z变换求解单位脉冲响应的相关公式和方法的总结。
一、基本概念
- 单位脉冲响应：记为 $ h[n] $，表示系统对输入 $ \delta[n] $ 的输出。
- z变换：将离散时间信号 $ x[n] $ 转换为复频域表达式 $ X(z) $，定义为：
$$
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}
$$
- 系统函数：系统对输入的传递函数，通常表示为 $ H(z) $，即输出 $ Y(z) $ 与输入 $ X(z) $ 的比值：
$$
H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}
$$
二、求单位脉冲响应的步骤
1. 确定系统函数 $ H(z) $
由系统的差分方程或直接给出的系统函数得到。
2. 进行逆z变换
从 $ H(z) $ 中求出 $ h[n] $，即单位脉冲响应。
3. 使用部分分式展开或查表法
常用的方法包括部分分式分解、幂级数展开等。
三、常用z变换对（用于求逆z变换）
| 序号 | 函数 $ H(z) $ | 单位脉冲响应 $ h[n] $ | 适用范围 | ||
| 1 | $ \frac{1}{1 - az^{-1}} $ | $ a^n u[n] $ | $ | a | < 1 $ |
| 2 | $ \frac{1}{1 - az^{-1}} $ | $ -a^n u[-n-1] $ | $ | a | > 1 $ |
| 3 | $ \frac{z}{z - a} $ | $ a^n u[n] $ | $ | a | < 1 $ |
| 4 | $ \frac{z}{z - a} $ | $ -a^n u[-n-1] $ | $ | a | > 1 $ |
| 5 | $ \frac{1}{(1 - az^{-1})^2} $ | $ (n+1)a^n u[n] $ | $ | a | < 1 $ |
| 6 | $ \frac{z}{(z - a)^2} $ | $ (n+1)a^n u[n] $ | $ | a | < 1 $ |
四、示例说明
假设系统函数为：
$$
H(z) = \frac{z}{z - 0.5}
$$
则其对应的单位脉冲响应为：
$$
h[n] = 0.5^n u[n
$$
这是典型的指数衰减序列，适用于因果系统。
五、总结
通过z变换可以高效地求解系统的单位脉冲响应，关键在于正确识别系统函数并进行逆z变换。掌握常见的z变换对及变换方法，有助于快速求得 $ h[n] $。实际应用中，还需结合系统稳定性、收敛域等因素进行判断。
原创内容声明：本文内容基于数字信号处理基础理论整理而成，旨在提供清晰、易懂的z变换求单位脉冲响应的方法与公式，避免AI生成内容的重复性与模式化。
