在数学分析中，全微分是多元函数的重要概念之一。它描述了函数在某一点处的变化率，并且可以用来近似计算函数值的变化。本文将详细介绍如何求解一个多元函数的全微分。

首先，我们需要明确什么是全微分。对于一个定义在开区域上的二元函数 \( z = f(x, y) \)，如果该函数在点 \( (x_0, y_0) \) 处可微，则其全微分为：

\[ dz = f_x(x_0, y_0)dx + f_y(x_0, y_0)dy \]

这里，\( f_x(x_0, y_0) \) 和 \( f_y(x_0, y_0) \) 分别表示函数对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数在点 \( (x_0, y_0) \) 处的值。

接下来，我们通过一个具体的例子来演示如何求解全微分。

假设我们有一个函数 \( z = f(x, y) = x^2y + 3xy^2 \)。为了找到这个函数的全微分，我们先分别计算偏导数：

\[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3xy^2) = 2xy + 3y^2 \]

\[ f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3xy^2) = x^2 + 6xy \]

然后，在某个特定点 \( (x_0, y_0) \)，比如 \( (1, 2) \)，代入上述偏导数值：

\[ f_x(1, 2) = 2(1)(2) + 3(2)^2 = 4 + 12 = 16 \]

\[ f_y(1, 2) = (1)^2 + 6(1)(2) = 1 + 12 = 13 \]

因此，在点 \( (1, 2) \) 处，函数 \( z = f(x, y) \) 的全微分为：

\[ dz = f_x(1, 2)dx + f_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy \]

总结起来，求解全微分的关键步骤包括：

1. 计算函数关于每个变量的偏导数。

2. 将这些偏导数代入到全微分公式中。

3. 根据需要确定具体点和变化量 \( dx \) 和 \( dy \)。

希望以上内容能帮助你更好地理解并掌握全微分的求法！如果你还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时提问。