【复变函数与积分变换公式汇总】在数学的众多分支中，复变函数与积分变换是重要的理论基础，广泛应用于物理、工程、信号处理等领域。为了便于学习和复习，本文对复变函数与积分变换中的主要公式进行了系统整理，内容包括复数的基本运算、复变函数的解析性、泰勒展开与洛朗展开、留数定理、傅里叶变换与拉普拉斯变换等核心知识点。
一、复数基本运算
| 公式 | 说明 | ||
| $ z = x + iy $ | 复数表示形式，$ x, y \in \mathbb{R} $ | ||
| $ | z | = \sqrt{x^2 + y^2} $ | 模长 |
| $ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) $ | 辐角（主值） | ||
| $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $ | 欧拉公式 | ||
| $ \overline{z} = x - iy $ | 共轭复数 |
二、复变函数的基本概念
| 公式 | 说明 |
| $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $ | 复变函数的实部与虚部表示 |
| $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $ | 柯西-黎曼方程 |
| $ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} $ | 导数表达式（若满足柯西-黎曼条件） |
三、解析函数与奇点
| 公式 | 说明 |
| 解析函数：在某点及其邻域内可导的函数 | |
| 奇点：函数不解析的点，分为可去奇点、极点、本性奇点等 | |
| $ \lim_{z \to a} (z - a)^n f(z) = C \neq 0 $ | 若存在有限正整数 $ n $，则 $ a $ 为 $ n $ 阶极点 |
四、泰勒展开与洛朗展开
| 公式 | 说明 |
| $ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n $ | 泰勒级数（在 $ a $ 点附近） |
| $ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - a)^n $ | 洛朗级数（在环形区域内） |
| $ a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} dz $ | 系数计算公式 |
五、留数定理与积分计算
| 公式 | 说明 |
| $ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{m} \text{Res}(f, a_k) $ | 留数定理（闭合曲线积分） |
| $ \text{Res}(f, a) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} [(z - a)^n f(z)] $ | 极点处的留数计算（n阶极点） |
| $ \text{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a)f(z) $ | 一阶极点处的留数计算 |
六、傅里叶变换与逆变换
| 公式 | 说明 |
| $ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt $ | 傅里叶变换 |
| $ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega $ | 傅里叶逆变换 |
| $ F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} $ | 傅里叶变换符号表示 |
七、拉普拉斯变换与逆变换
| 公式 | 说明 |
| $ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt $ | 拉普拉斯变换 |
| $ f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s) e^{st} ds $ | 拉普拉斯逆变换（复平面上的积分） |
| $ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) $ | 拉普拉斯变换符号表示 |
八、常见函数的变换表
| 函数 $ f(t) $ | 拉普拉斯变换 $ \mathcal{L}\{f(t)\} $ | 傅里叶变换 $ \mathcal{F}\{f(t)\} $ |
| $ 1 $ | $ \frac{1}{s} $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ |
| $ e^{at} $ | $ \frac{1}{s - a} $ | $ \frac{1}{a + i\omega} $ |
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} $ | $ \frac{i\pi}{2} [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ |
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \frac{s}{s^2 + \omega_0^2} $ | $ \pi [\delta(\omega + \omega_0) + \delta(\omega - \omega_0)] $ |
结语
复变函数与积分变换是现代科学与工程中不可或缺的工具，掌握其核心公式有助于深入理解相关领域的数学模型。本文通过总结常用公式与关键概念，旨在为学习者提供一个清晰、系统的参考指南。建议结合实际问题进行练习，以加深对这些数学工具的理解与应用能力。
