【向量积计算公式】向量积（又称叉积）是向量代数中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。它主要用于描述两个向量之间的“垂直关系”，并能计算出一个与这两个向量都垂直的第三个向量。向量积的结果是一个矢量，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积。
在三维空间中，若已知两个向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积可以通过以下公式进行计算：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
即：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
向量积计算公式总结表
| 项目 | 内容 | ||||||
| 名称 | 向量积 / 叉积 | ||||||
| 定义 | 两个向量的向量积是一个与原两向量都垂直的向量 | ||||||
| 数学表示 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ | ||||||
| 公式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | ||||||
| 方向 | 由右手定则确定 | ||||||
| 大小 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中θ为两向量夹角 | |
| 应用领域 | 物理（如力矩）、计算机图形学、工程力学等 |
注意事项
- 向量积仅适用于三维空间中的向量。
- 向量积不满足交换律，即 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} \neq \mathbf{b} \times \mathbf{a}$，但有 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$。
- 若两向量共线，则它们的向量积为零向量。
通过掌握向量积的基本公式和性质，可以更有效地解决与空间几何相关的实际问题。
